Materiale e dispense

OMARI Pierpaolo
ANALISI MATEMATICA 1

Elementi di logica formale. Proposizioni. Operazioni logiche: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione.
Tavole di verità. Proprietà delle operazioni logiche.
Implicazione diretta, inversa, contraria, contronominale.
Tautologie e contraddizioni.
Predicati. Quantificatori universale ed esistenziale. Regole di negazione. Teoremi e controesempi.
Dimostrazione per assurdo. L'equazione x2 = 2 non ha soluzioni razionali
Elementi di teoria degli insiemi. Concetto di insieme. Elementi e appartenenza. Formazione
di un insieme: principio di estensione e di astrazione. Inclusione. Insieme delle parti. Operazioni
fra insiemi: intersezione, unione, di erenza, complementare e relative proprietà. Applicazioni fra
insiemi e loro proprietà: suriezioni, iniezioni, biiezioni; immagine e controimmagine; applicazione
identica; restrizioni e prolungamenti; composizione; inversione. Insieme prodotto. Relazioni binarie. Grafico di una relazione e di un'applicazione. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza
e insieme quoziente. Definizione per astrazione con esempi. Relazioni d'ordine in senso debole e
in senso stretto con esempi. Limitazioni superiori e inferiori. Insiemi limitati. Massimo e minimo.
Estremo superiore e inferiore. Insiemi equipotenti e cardinalità. Confronto fra cardinalità. Insiemi
numerabili. ZZ e IQ sono numerabili (con dim.). IR non è numerabile (con dim.). Cardinalità
dell'insieme delle parti.
Elementi di calcolo combinatorio. Permutazioni. Il fattoriale. Disposizioni. Combinazioni.
Coe\016cienti binomiali e loro proprietà. La formula di Newton per lo sviluppo del binomio (con
dim.).
L'insieme IR dei numeri reali. Proprietà algebriche dei numeri reali: IR è un corpo com-
mutativo. Proprietà d'ordine dei numeri reali: IR è un corpo commutativo totalmente ordinato.
L'insieme IN dei numeri naturali. Principio d'induzione e applicazioni. L'insieme ZZ dei numeri
interi relativi. L'insieme IQ dei numeri razionali. La retta reale. Insu\016cienza dei numeri razionali.
Classi separate e classi contigue. Proprietà di continuità (di Dedekind) dell'insieme dei numeri
reali: IR è un corpo commutativo totalmente ordinato e completo. IQ non è completo (con dim.).
Estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore (con dim.). Proprietà
caratteristiche dell'estremo superiore e inferiore. Caratterizzazioine delle classi contigue con gli
estremi superiore e inferiore. I simboli +1 e ??1. Gli intervalli in IR e proprietà di convessità.
Valore assoluto e sue proprietà (con dim.). Proprietà di Archimede (con dim.). Principio del
massimo in IN (con dim.). Principio del minimo in IN e principio di induzione. Approssimazione
dei numeri reali mediante i numeri razionali (con dim.). Densità di IQ in IR (con dim.). Densità di
delle frazioni decimali in IR. Rappresentazione in base dieci dei numeri naturali, razionali e reali.
Un modello di IR: gli allineamenti decimali. Studio dell'equazione xn = a con n 2 IN+ e a 2 IR
(con dim.). La radice n??esima in IR.
L'insieme CI dei numeri complessi. Definizione di numero complesso. Forma algebrica (o di
Eulero). L'unità immaginaria. Esistenza del reciproco di un numero complesso (con dim.). CI è un
corpo commutativo. Piano di Gauss. Teorema fondamentale dell'algebra. Modulo di un numero
complesso e relative proprietà. Coniugio inCI e relative proprietà. Forma trigonometrica (o polare)
di un numero complesso. Argomento di un numero complesso. Formule di de Moivre. Risoluzione
dell'equazione zn = w con n 2 IN+ e w 2CI .
Funzioni da IR in IR. Somma, prodotto, combinazione lineare di funzioni. Reciproca di una
funzione. Massimo e minimo di due funzioni. Valore assoluto, parte positiva e parte negativa
di una funzione. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. Potenza con esponente
naturale. Potenza con esponente intero. Potenza con esponente razionale (con dim.). Potenza con
esponente reale (con dim.). Proprietà formali. Funzioni elementari. Funzioni razionali. Polinomi.
Principio d'identità dei polinomi. Grado di un polinomio. Radici di un polinomio. Fattorizzazione
di un polinomio avente coe\016cienti reali in fattori di primo e secondo grado. La funzione radice
n??esima. Le funzioni circolari e relative proprietà. Le inverse delle funzioni circolari. La fun-
zione esponenziale e relative proprietà (algebriche, positività, monotonia, suriettività) (con dim.).
Grafici. Definizione del numero di Nepero (con dim.). La funzione logaritmo e relative proprietà
(algebriche e cambiamento di base) (con dim.). Grafici. La funzione potenza e relative proprietà
(algebriche e monotonia). Grafici. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Successioni e sotto-
successioni. Successioni definite per ricorrenza. Modelli matematici discreti: esempi tratti dalla
dinamica delle popolazioni.
Elementi di topologia della retta e del piano complesso. Distanza euclidea in IR e in
CI . Proprietà della distanza. Sfere aperte e chiuse. Intorni di un punto. Proprietà degli intorni.
Intorni di +1, di ??1 e di 1 in IR. Punti di accumulazione. Punti isolati. Teorema di Bolzano-
Weierstrass in IR e inCI . (con dim. in IR). Chiusura di un insieme e insieme chiuso. Punti interni.
Interno di un insieme e insieme aperto. Punti di frontiera. Frontiera di un insieme. Diametro di
un insieme e insiemi limitati.
Limiti di funzioni. Studio del comportamento asintotico di una successione di numeri reali.
Definizione di limite finito e infinito di una successione. Unicità del limite di una successione
(con dim.). Limiti di sottosuccessioni. Limite di una successione inCI . Proprietà delle successioni
limitate (teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni) (con dim.). Studio del comportamento
locale di una funzione. Definizione generale di limite per una funzione da IR in IR. Esame dei casi
particolari. Teorema di unicità del limite (con dim.). Limite della restrizione. Non esistenza del
limite. Limite sinistro e destro ed esistenza del limite. Limite della funzione composta (con dim.).
Limite della somma e del prodotto (con dim.). Permanenza del segno (con dim.) e limitatezza
locale (nel caso del limite) (con dim.). Limite della reciproca (con dim.). Teorema del confronto (o
dei due carabinieri) (con dim.). Limite di sin x
x per x tendente a 0 (con dim.) e conseguenze. Limiti
di funzioni razionali per x tendente all'infinito. Teorema sul limite delle funzioni monotone (con
dim.). Proprietà delle funzioni monotone definite su intervalli. Teorema sul limite delle successioni
monotone. Limite di (1 + 1
x )x per x tendente all'infinito (con dim.). Limiti di ax
jxjp e xp loga x agli
estremi dei rispettivi domini (con dim.). Limite di ax??1
x e loga(1+x)
x per x tendente a 0 (con dim.).
Limite di (1+x)\013??1
x per x tendente a 0. Definizione di limite per una funzione daCI inCI .
Funzioni continue. Funzioni da IR in IR continue in un punto e su un insieme. Continuità di 1, x,
jxj,
p
x, sin x, cos x, ax (con dim.). Continuità della restrizione e della composta. Permanenza del
segno e limitatezza locale (con dim.). Continuità della somma, del prodotto, della combinazione
lineare, della reciproca e del quoziente (con dim.). Lo spazio C0(E). Continuità dei polinomi,
delle funzioni razionali, di tg x, cotg x, sinh x, cosh x. Continuità delle funzioni monotone che
hanno come immagine un intervallo (con dim.). Continuità dell'inversa. Continuità di n
p
x, loga x,
arcsin x, arccos x, arctg x. Estremi assoluti e zeri di funzioni. Teorema di Weierstrass sull'esistenza
degli estremi (con dim.). Teorema di Bolzano sull'esistenza degli zeri (con dim.). Il metodo di
bisezione e applicazioni numeriche. Insiemi compatti (in IR e CI ) e connessi (in IR). Teorema di
compattezza. Teorema di connessione (con dim.). Funzioni uniformemente continue. Teorema di
Heine (con dim.). Funzioni continue daCI inCI .
II semestre
Calcolo di\013erenziale per funzioni da IR in IR. Motivazioni. Rapporto incrementale e
derivata. Interpolante lineare e retta secante. Derivata sinistra e destra. Derivabilità e funzione
derivata. Derivabilità e continuità (con dim.). Derivata infinita. Due funzioni patologiche: la
funzione di Dirichlet e la funzione di Weierstrass. Approssimante lineare. Relazioni tra l'esistenza
dell'approssimante lineare e la derivabilità (con dim.). Retta tangente. Di\013erenziale. Appli-
cazioni all'approssimazione numerica. Regole algebriche di derivazione: somma, prodotto, reci-
proca, quoziente (con dim.). Derivazione della funzione composta (con dim.). Derivazione della
funzione inversa (on dim.). Derivate delle principali funzioni elementari (con dim.). Derivate suc-
cessive. Gli spazi vettoriali Cn(I), con n 2 IN, e C1(I) e l'applicazione lineare di derivazione.
Proprietà del primo ordine: crescenza e decrescenza (locali e globali) e punti di estremo relativo.
Relazione tra crescenza in un punto e segno della derivata (con dim.). Punti critici. Teorema di
Fermat (con dim.). Teorema di Rolle (con dim.), di Cauchy (con dim.) e di Lagrange (con dim.) e
loro interpretazione geometrica. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla
(o positiva, o negativa) su un intervallo (con dim.). Applicazioni allo studio di funzioni: esistenza
di punti di massimo e di minimo attraverso lo studio dello derivata prima (con dim.). Infiniti e
infinitesimi. Studio di situazioni (forme di indecisione) in cui i teoremi algebrici sui limiti non si
applicano. Regola di de l'Hospital (con dim. nel caso 0
0 ). Teorema sul limite dell derivata (con
dim.). Funzioni asintotiche e asintoti.
Confronto locale di funzioni da IR in IR. Infiniti equivalenti e ordini di infinito. Confronto fra
ordini di infinito. Ordine di infinito della somma e del prodotto. Ordini di infinito reali, soprareali,
sottoreali e infrareali. Infinitesimi equivalenti e ordini di infinitesimo. Confronto fra ordini di
infinitesimo. Ordini di infinitesimo reali, soprareali, sottoreali e infrareali. La notazione \\o" di
Landau.
Formula di Taylor per funzioni da IR in IR e applicazioni. Approssimazione locale e globale
di una funzione mediante polinomi. Lemma di Peano (con dim.) e sue applicazioni al calcolo
dell'ordine di infinitesimo. Polinomio approssimante di ordine n. Teorema di Taylor (con dim.).
Lemma di Lagrange (con dim.). La formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange.
Maggiorazione dell'errore e applicazioni all'approssimazione globale di una funzione. Sviluppi di
Taylor-Maclaurin di ex, sin x, cos x, log(1+x), (1+x)\013. Proprietà del secondo ordine: convessità,
concavità (locali e globali) e punti di
esso. Condizioni sulla derivata seconda su\016cienti per la
convessità e la concavità locale o globale (con dim.). Test della derivata seconda per l'esistenza di
un punto di estremo relativo (con dim.). Condizione sulla derivata seconda necessaria per esistenza
di un punto di
esso. Condizione sulla derivata terza su\016ciente per esistenza di un punto di
esso
(con dim.). Esistenza di punti di
esso attraverso lo studio dello derivata seconda (con dim.). Il
metodo di Newton per la risoluzione numerica di un'equazione e sua convergenza (con dim.).
Primitive di funzioni da IR in IR. Funzioni primitivabili e primitive. Caratterizzazione delle
primitive di una funzione definita su un intervallo (con dim.). Integrale indefinito. Esempi di
funzioni prive di primitiva elementare. Regole di primitivazione: linearità, parti, sostituzione
diretta e inversa. Primitivazione delle funzioni razionali: metodo di decomposizione di Hermite.
Alcune sostituzioni razionalizzanti.
Teoria dell'integrazione per funzioni da IR in IR. Motivazioni. Decomposizioni di un inter-
vallo. Ordinamento per finezza. Somme integrali inferiori e superiori e relative proprietà (con dim.).
Integrale di Riemann-Darboux di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato. Interpre-
tazione geometrica dell'integrale. Approssimazione numerica dell'integrale: metodo dei rettangoli
e metodo dei trapezi. Esempio di una funzione non integrabile secondo Riemann. Integrabilità
delle funzioni continue (con dim.). Integrabilità delle funzioni limitate aventi un numero finito di
punti di discontinuità. Integrabilità delle funzioni monotone (con dim.). Proprietà dell'integrale:
integrabilità della combinazione lineare e linearità (con dim.), monotonia (con dim.), integrabilità
del valore assoluto (con dim.), integrabilità del prodotto (con dim.), teorema della media integrale
(con dim.), additività rispetto al dominio (con dim.), integrabilità della restrizione (con dim.).
Funzioni localmente integrabili. Integrale orientato. Regola di Chasles (con dim.). Teorema del
valore assoluto per l'integrale orientato (con dim.). Funzione integrale. Continuità della funzione
integrale (con dim.). Teorema fondamentale del calcolo (con dim.). Derivazione di funzioni definite
da integrali (con dim.). Esistenza di una primitiva di una funzione continua. Teorema di Torricelli
(con dim.). Regole di integrazione definita: parti e sostituzione (con dim.). Integrazione di fun-
zioni con particolari simmetrie: pari, dispari, periodiche. Relazioni fra continuità, primitivabilità,
integrabilità. Teorema di Darboux (con dim.).
Integrale in senso generalizzato per funzioni da IR in IR. Motivazioni. Integrale in senso
generalizzato. Integrazione in senso generalizzato delle funzioni campione. Criterio del confronto
(con dim.). Funzioni assolutamente integrabili e semplicemente integrabili in senso generalizzato.
Esempio di una funzione integrabile in senso generalizzato, ma non assolutamente integrabile in
senso generalizzato. Relazioni tra l'assoluta integrabilità e l'integrabilità in senso generalizzato
(con dim.). Criterio dell'ordine di infinitesimo (con dim.). Criterio dell'ordine di infinito.
Serie numeriche. Motivazioni ed esempi. Serie di numeri reali. Termine generale e somme
parziali (ridotte). Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e suo carattere
(con dim.). La serie armonica e suo carattere (con dim.). La serie di Mengoli e suo carattere (con
dim.). Condizione necessaria per la convergenza: il termine generale dev'essere infinitesimo (con
dim.). Funzione a gradino associata a una serie. Relazioni tra serie e integrali generalizzati (con
dim.). Stime della somma e stime d'errore. Serie a termini positivi. Aut-aut per le serie a termini
positivi (con dim.). Criterio del confronto (con dim.). Criterio dell'ordine d'infinitesimo (con
dim.). Serie armonica generalizzata e suo carattere (con dim.). Criterio del rapporto (con dim.).
Criterio del rapporto con il limite (con dim.). Criterio della radice (con dim.). Criterio della radice
con il limite (con dim.). Serie con i termini di segno misto. Serie assolutamente e semplicemente
convergenti. La convergenza assoluta implica la convergenza (con dim.). Serie con i termini di
segno alternato. Criterio di Leibniz (con dim.). Operazioni con le serie: somma e prodotto per
una costante. Proprietà associativa per le serie. Associatività delle serie non indeterminate (con
dim.). Proprietà commutativa delle serie. Permutabilità delle serie convergenti a termini positivi
(con dim.). Permutabilità delle serie assolutamente convergenti. Serie incastro e applicazioni.
Convergenza di una successione di numeri complessi. Serie di numeri complessi.

Università  degli Studi di Trieste
Ingegneria
C.d.l. triennale in INGEGNERIA INDUSTRIALE
71INC.