Materiale e dispense

LANCERI Livio
FISICA 1

Teoria degli errori e fondamenti di statistica
ERRORI E UNITA' DI MISURA

(esaustiva e completa panoramica sulle misure e sugli errori di misura)


1 Introduzione 1
1.1 Il metodo scientifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 La misura 5
2.1 Misure dirette e misure indirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Le unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Gli strumenti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Errori di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Cifre significative ed arrotondamenti . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Errore relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Elementi di teoria della probabilità 19
3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 La probabilità: definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Proprietà della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 L’evento complementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Probabilità totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.3 Probabilità condizionata e probabilità composta . . . 24
3.3.4 Il teorema di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Definizione assiomatica della probabilità . . . . . . . . . . . . 27
3.4.1 Le leggi della probabilità e la definizione assiomatica 27
3.5 La convergenza statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Elaborazione dei dati 31
4.1 Istogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Stime di tendenza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 La media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.4 Considerazioni complessive . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.5 Prima giustificazione della media . . . . . . . . . . . . 40
4.2.6 La media aritmetica espressa tramite le frequenze . . 41
4.3 Stime di dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Semidispersione massima e quantili . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 Deviazione media assoluta (errore medio) . . . . . . . 43
4.3.3 Varianza e deviazione standard . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Giustificazione della media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Variabili casuali unidimensionali discrete 47
5.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Speranza matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Il valore medio delle combinazioni lineari . . . . . . . . . . . . 50
5.4 La varianza delle combinazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5 L’errore della media dei campioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.6 La legge dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6.1 La disuguaglianza di Bienaymé–ˇCebyšef . . . . . . . . 55
5.6.2 Il teorema di ˇCebyšef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.6.3 Il teorema di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.7 Valore medio e valore vero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.8 Scarto ed errore quadratico medio . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.9 Stima della varianza della popolazione . . . . . . . . . . . . . . 61
5.10 Ancora sull’errore quadratico medio . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Variabili casuali unidimensionali continue 65
6.1 La densità di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 La speranza matematica per le variabili continue . . . . . . . 69
6.3 I momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Funzione generatrice e funzione caratteristica . . . . . . . . . 71
6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete . . . . . . 75
6.5 Cambiamento di variabile casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.6 I valori estremi di un campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 Variabili casuali pluridimensionali 81
7.1 Variabili casuali bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.1 Momenti, funzione caratteristica e funzione generatrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.2 Cambiamento di variabile casuale . . . . . . . . . . . . 84
7.1.3 Applicazione: il rapporto di due variabili casuali indipendenti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.1.4 Applicazione: il decadimento debole della 0 . . . . . 86
7.1.5 Applicazione: il decadimento debole K0
e3 . . . . . . . . 87
7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione . . . . . . . 87
7.2 Cenni sulle variabili casuali in più di due dimensioni . . . . . 88
8 Esempi di distribuzioni teoriche 93
8.1 La distribuzione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 Applicazione: decadimento del π0 . . . . . . . . . . . . 94
8.1.2 Applicazione: generazione di numeri casuali con distribuzione
data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.3 Esempio: valori estremi di un campione di dati a distribuzione
uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 La distribuzione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.3 La distribuzione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3.1 Il rapporto di due variabili normali . . . . . . . . . . . 107
8.4 La distribuzione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4.1 Applicazione: decadimenti radioattivi . . . . . . . . . 113
8.4.2 Applicazione: il rapporto di asimmetria . . . . . . . . 114
8.4.3 La distribuzione binomiale negativa . . . . . . . . . . . 115
8.5 La distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.5.1 Applicazione: esperimenti “negativi” . . . . . . . . . . 122
8.5.2 Applicazione: ancora il rapporto di asimmetria . . . . 122
8.5.3 La distribuzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5.4 La distribuzione di Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.5.5 La distribuzione composta di Poisson . . . . . . . . . . 128
8.5.6 Esempio: l’osservazione di un quark isolato . . . . . . 129
8.5.7 Applicazione: segnale e fondo . . . . . . . . . . . . . . 130
8.6 La distribuzione lognormale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.7 La distribuzione normale in più dimensioni . . . . . . . . . . . 135
9 La legge di Gauss 141
9.1 La funzione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 Proprietà della legge normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.3 Lo scarto normalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
iv Indice
9.4 Il significato geometrico di σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.5 La curva di Gauss nella pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.6 Esame dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.7 Sommario delle misure dirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.8 Il teorema del limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.8.1 Applicazione: numeri casuali normali . . . . . . . . . . 157
10 Le misure indirette 161
10.1 Risultato della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.2 Combinazioni lineari di misure dirette . . . . . . . . . . . . . . 163
10.3 La formula di propagazione degli errori . . . . . . . . . . . . . 164
10.4 Errore dei prodotti di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.5 Errori massimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11 Stime di parametri 167
11.1 Stime e loro caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.2 La stima di massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.2.1 Un esempio di stima sufficiente . . . . . . . . . . . . . 173
11.3 Media pesata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.4 Interpolazione dei dati con una curva . . . . . . . . . . . . . . 178
11.4.1 Interpolazione lineare per due variabili . . . . . . . . . 179
11.4.2 Stima a posteriori degli errori di misura . . . . . . . . 183
11.4.3 Interpolazione con una retta per l’origine . . . . . . . 184
11.4.4 Interpolazione lineare nel caso generale . . . . . . . . 186
11.4.5 Interpolazione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.5 Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza . 188
11.5.1 Stima di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.5.2 Media e varianza di una popolazione normale . . . . 190
11.5.3 Range di una popolazione uniforme . . . . . . . . . . . 191
11.5.4 Stima della vita media di una particella . . . . . . . . . 192
12 La verifica delle ipotesi (I) 195
12.1 La distribuzione del χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2 Verifiche basate sulla distribuzione del χ2 . . . . . . . . . . . . 203
12.2.1 Compatibilità dei dati con una distribuzione . . . . . 203
12.2.2 Il metodo del minimo χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.2.3 Test di omogeneità per dati raggruppati . . . . . . . . 210
12.2.4 Un esempio: diffusione elastica protoneprotone
. . . 212
12.3 Compatibilità con un valore prefissato . . . . . . . . . . . . . . 214
12.4 I piccoli campioni e la distribuzione di Student . . . . . . . . . 217
12.5 La compatibilità di due valori misurati . . . . . . . . . . . . . . 220
12.6 La distribuzione di Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.6.1 Confronto tra varianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.7 Il metodo di Kolmogorov e Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . 225
13 La verifica delle ipotesi (II) 227
13.1 Un primo esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.2 Il lemma di Neyman–Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.3 Tests di massima potenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 234
13.4 Il rapporto delle massime verosimiglianze . . . . . . . . . . . . 235
13.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilità . . . . . . . . . . . . . . 238
13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale . . . 240
A Cenni di calcolo combinatorio 243
A.1 Il lemma fondamentale del calcolo combinatorio . . . . . . . 243
A.2 Fattoriale di un numero intero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.3 Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.4 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.5 Permutazioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.6 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.7 Partizioni ordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
B L’errore della varianza 249
C Covarianza e correlazione 255
C.1 La covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
C.2 La correlazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
C.3 Propagazione degli errori per variabili correlate . . . . . . . . 261
C.4 Applicazioni all’interpolazione lineare . . . . . . . . . . . . . . 262
C.4.1 Riscrittura delle equazioni dei minimi quadrati . . . . 262
C.4.2 Verifica di ipotesi sulla correlazione lineare . . . . . . 264
C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta . . . . . . 265
C.4.4 Stima puntuale mediante l’interpolazione lineare . . 267
C.4.5 Verifica di ipotesi nell’interpolazione lineare . . . . . 268
C.4.6 Adeguatezza dell’interpolazione lineare o polinomiale
in genere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
C.4.7 Il run test per i residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
C.5 Applicazioni alla stima di parametri . . . . . . . . . . . . . . . 274
D Il modello di Laplace e la funzione di Gauss 277
E La funzione di verosimiglianza 283
F La licenza GNU GPL (General Public License) 293
F.1 The GNU General Public License . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
F.2 Licenza pubblica generica del progetto GNU . . . . . . . . . . 301
G Tabelle 311
H Bibliografia 323
Indice analitico 327 Elenco delle figure
4a Istogramma di un campione di misure . . . . . . . . . . . . . . 32
4b Frequenza cumulativa relativa di un campione di misure . . 34
4c Distribuzioni unimodali, bimodali e amodali . . . . . . . . . . 36
4d La distribuzione di Maxwell–Boltzmann . . . . . . . . . . . . . 39
6a Il comportamento limite delle frequenze relative . . . . . . . 66
8a Le aree elementari sulla superficie di una sfera di raggio R . 95
8b Il metodo dei rigetti — esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8c La distribuzione normale standardizzata . . . . . . . . . . . . 101
8d La distribuzione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8e La distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8f La distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8g Limiti superiori sul segnale in presenza di fondo noto . . . . 132
8h La distribuzione lognormale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8i Funzione normale bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8j Funzione normale bidimensionale (curve di livello) . . . . . . 136
8k Funzione normale bidimensionale (probabilità condizionate) 137
9a Dipendenza da h della distribuzione di Gauss . . . . . . . . . 143
9b Istogrammi di dati con differente precisione . . . . . . . . . . 148
11a Stime consistenti ed inconsistenti, imparziali e deviate . . . . 169
12a La distribuzione del χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12b La funzione di distribuzione del χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12c La funzione di distribuzione del χ2 ridotto . . . . . . . . . . . 207
12d Urto elastico protoneprotone.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12e La distribuzione di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13a Un esempio: errori di prima e seconda specie . . . . . . . . . 231
C1 Esempio di interpolazione lineare per un insieme di 12 punti. 271



Università  degli Studi di Trieste
Ingegneria
C.d.l. magistrale in INGEGNERIA CIVILE\n\n215INC.